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SGCライブラリ 136

臨時別冊・数理科学2017年9月
「例題形式で探求する代数学のエッセンス」
〜 方程式から拡がる世界 〜

小林正典(首都大学東京准教授) 著

定価:2,300円(本体2,130円+税)
発行:サイエンス社
発行日:2017-09-25
JAN 4910054700978 / B5判/192頁


<内容詳細>
本書では,方程式を話題の中心に据え,様々な例題や問題を通して,解の公式をはじめとした広く代数に関わる内容を扱う.それぞれの例題・問題に接することで,生きた題材の全体に触れ,同時に,例題・問題を解く力をつけることも目指す.本誌の連載「例題形式で探求する代数学のエッセンス−方程式から代数学の本質に迫る」(2015年1月〜2017年4月)の待望の一冊化.

<目次>
第1章 方程式の複素数解
  1.1 方程式を「解く」とは
  1.2 除法の原理
  1.3 複素数
  1.4 解の公式
  1.5 例題1.1の解答
  1.6 補足

第2章 分母の有理化
  2.1 第2章の問題
  2.2 因数分解の公式の利用
  2.3 最大公約元とユークリッドの互除法
  2.4 最小多項式
  2.5 代数的数の有理式
  2.6 代数的数と拡大次数

第3章 2つの剰余定理
  3.1 第3章の問題
  3.2 連立1次方程式による解法
  3.3 剰余定理による言い換え
  3.4 整数の除法
  3.5 整数の合同
  3.6 環とイデアル
  3.7 互いに素
  3.8 中国式剰余定理
  3.9 ラグランジュの補間公式
  3.10 多変数への拡張

第4章 因数分解
  4.1 第4章の問題
  4.2 実数・複素数係数の因数分解
  4.3 整数係数の因数分解
  4.4 分解の存在と一意性
  4.5 アイゼンシュタインの既約性判定法
  4.6 有理数係数の因数分解

第5章 共役元とノルム
  5.1 第5章の問題
  5.2 共役元
  5.3 2次体の場合
  5.4 基底と表現行列
  5.5 行列式
  5.6 掛け算写像

第6章 解と係数の関係
  6.1 第6章の問題
  6.2 解と係数の関係
  6.3 基本対称式
  6.4 べき和
  6.5 単項対称式
  6.6 辞書式順序・先頭項
  6.7 基本定理の証明
  6.8 対称群
  6.9 例題の解答
  6.10 多項式の根の存在

第7章 判別式
  7.1 第7章の問題
  7.2 判別式と差積
  7.3 終結式
  7.4 交代式
  7.5 交代群
  7.6 対合
  7.7 結論と例題の解答

第8章 二重根号
  8.1 二重根号
  8.2 複二次式
  8.3 2次拡大
  8.4 体の自己同型
  8.5 アルティンの定理
  8.6 例題の解答と結論

第9章 1のべき根
  9.1 第9章の問題
  9.2 巡回群
  9.3 有限生成アーベル群の基本定理
  9.4 乗法群
  9.5 例題の解答
  9.6 1のべき根

第10章 軌道分解
  10.1 第10章の問題
  10.2 群作用
  10.3 ラグランジュの定理,共役元
  10.4 軌道・固定群定理
  10.5 巡回置換分解
  10.6 類等式
  10.7 シルベスターの公式
  10.8 例題の解答

第11章 自己同型群
  11.1 第11章の問題
  11.2 運動群
  11.3 有限体上の線形変換群
  11.4 内部自己同型群
  11.5 交換子群
  11.6 位数の小さい群
  11.7 例題の解答

第12章 ガロアの基本定理
  12.1 第12章の問題
  12.2 分離拡大
  12.3 ガロアの基本定理
  12.4 例題の解答
  12.5 円分拡大のガロア群

第13章 解の公式
  13.1 解の公式
  13.2 第13章の問題
  13.3 べき根拡大と巡回拡大
  13.4 可解群
  13.5 方程式のガロア群
  13.6 アルティン・シュライヤー拡大

第14章 軌跡
  14.1 第14章の問題
  14.2 軌跡
  14.3 包絡線
  14.4 定義イデアルと共通零点集合
  14.5 ヒルベルトの基底定理・グレブナー基底と消去法
  14.6 例題の解答

第15章 連立1次方程式
  15.1 第15章の問題
  15.2 掃き出し法
  15.3 R加群
  15.4 R加群の準同型
  15.5 単因子論
  15.6 例題の解答
  15.7 「不自由」な場合

第16章 連立1次不等式
  16.1 第16章の問題
  16.2 不等式の標準形
  16.3 不等式の消去法
  16.4 構造定理1
  16.5 構造定理2
  16.6 ファルカシュの補題
  16.7 線形計画法の双対定理
  16.8 例題の解答

第17章 図形と式
  17.1 鶏が先か卵が先か
  17.2 双対
  17.3 双対基底
  17.4 零化空間
  17.5 ヒルベルトの零点定理
  17.6 座標環

第18章 1+1=1
  18.1 工程計画問題
  18.2 トロピカル代数
  18.3 トロピカル化
  18.4 p進数
  18.5 付値
  18.6 付値の同値類

第19章 グラフ
  19.1 第19章の問題
  19.2 グラフと行列
  19.3 マルコフ過程
  19.4 ペロン・フロベニウスの定理
  19.5 例題の解答
  19.6 ADE

参考文献
索引