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SGCライブラリ 132

臨時別冊・数理科学2017年3月
「偏微分方程式の解の幾何学」

坂口 茂(東北大学教授) 著

定価:2,200円(本体2,037円+税)
発行:サイエンス社
発行日:2017-03-25
JAN 4910054700374 / B5判/112頁


<内容詳細>
数理物理に現れる偏微分方程式で記述されるいくつかの数理モデルの解からその幾何学的性質のいくつかを数学解析の手法を用いて抽出することを主な目的とし,その過程で幾何学的洞察・手法やこれまで偏微分方程式論で培われてきた基礎理論の有用性を垣間見ていく.

<目次>
第1章 反応拡散方程式
  1.1 発散定理
  1.2 反応拡散方程式の導出

第2章 熱方程式とラプラス方程式
  2.1 熱方程式
  2.2 ディリクレ問題:微分を用いる比較の方法
  2.3 ノイマン問題:積分を用いる方法

第3章 熱方程式とヴァラダンの定理
  3.1 熱方程式の基本解
  3.2 弱最大値原理
  3.3 ヴァラダンの定理
  3.4 弱最大値原理の証明

第4章 球の持つ熱量の初期挙動
  4.1 主曲率と平均曲率
  4.2 符号付き距離関数と主曲率
  4.3 幾何学的漸近公式
  4.4 球の持つ熱量の初期挙動と主曲率

第5章 音波の方程式
  5.1 音波の方程式の導出
  5.2 初期値問題とキルヒホッフの解の公式
  5.3 半空間上の初期境界値問題
  5.4 波動方程式と熱方程式の関係

第6章 アレクサンドロフのシャボン玉定理
  6.1 変分法と平均曲率
  6.2 強最大値原理とホップの境界点補題
  6.3 アレクサンドロフのシャボン玉定理とアレクサンドロフの平面移動法による証明
  6.4 アレクサンドロフの球面定理

第7章 複合媒質上の導電場方程式
  7.1 導電場方程式の導出
  7.2 ラプラス方程式の基本解
  7.3 複合媒質とHashin-Shtrikmanの同心球
  7.4 中性導体の特徴付け

第8章 複合媒質上の熱拡散方程式
  8.1 熱流に対する強最大値原理とホップの境界点補題
  8.2 単一媒質と不変等温面
  8.3 温度のバランス法則
  8.4 複合媒質と不変等温面

参考文献
索引