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SGCライブラリ 124

臨時別冊・数理科学2016年4月
「現代幾何学への招待」
〜 曲面の幾何からシンプレクティック幾何,フレアホモロジーまで 〜

宮岡礼子(東北大学名誉教授) 著

定価:2,200円(本体2,037円+税)
発行:サイエンス社
発行日:2016-04-25
JAN 4910054700466 / B5判/144頁


<内容詳細>
気軽に読めることを念頭に置き,最先端の幾何学が今どうなっているか概観.直感や物理的イメージを大切にすべく,数学科での通常の学習とは異なる方法で解説.古典力学や物理的側面にはかなり力を入れ,シンプレクティック多様体や,より進んだ話題としてフレアホモロジーも紹介.

<目次>
第1章 近道の数学
  1.1 近道を探そう
  1.2 変分法
  1.3 長さとエネルギー
  1.4 シュワルツの不等式
  1.5 測地線
  1.6 非ユークリッド幾何学
  1.7 フビニ-スタディ計量とポアンカレ円板

第2章 曲面の幾何I
  2.1 極小曲面
  2.2 面積の変分
  2.3 面積とエネルギー
  2.4 調和写像
  2.5 勾配流

第3章 曲面の位相的分類
  3.1 連結和と曲面の分類
  3.2 閉曲面の分類

第4章 基本群と被覆空間
  4.1 単連結性と基本群
  4.2 被覆空間
  4.3 普遍被覆空間
  4.4 曲面の普遍被覆空間
  4.5 等長写像・共形変換・ケーベの一意化定理
  4.6 対称性と群作用

第5章 ポアンカレ予想と幾何化予想
  5.1 ポアンカレ予想
  5.2 幾何化予想
  5.3 連結和分解
  5.4 トーラス分解
  5.5 サーストンの幾何化予想

第6章 リッチ流
  6.1 様々な曲率とリッチ流
  6.2 リッチ流の性質

第7章 平均曲率流
  7.1 縮んでいく曲線
  7.2 平均曲率流のソリトン解
  7.3 トランスレーティングソリトン
  7.4 トーマス-ヤウ予想とミラー対称性

第8章 曲面の幾何II
  8.1 ドライブから学ぶこと
  8.2 曲面上の曲線
  8.3 曲面のガウス曲率と平均曲率
  8.4 オイラー数とリーマン計量
  8.5 ガウス-ボンネの定理
  8.6 三角形の内角の和
  8.7 ガウス曲率とガウス写像

第9章 ビギナーの物理
  9.1 勾配ベクトル場と発散
  9.2 調和関数
  9.3 最大値原理
  9.4 熱方程式

第10章 高次元の話
  10.1 様々な比較定理
  10.2 ヤコビ場
  10.3 ヤコビ場の比較定理
  10.4 ボンネ-マイヤースの定理と正曲率空間
  10.5 トポノゴフの比較定理
  10.6 チーガー-グロモルの分裂定理
  10.7 球面定理

第11章 多様体とモース理論
  11.1 多様体
  11.2 モース理論
  11.3 ホモロジー
  11.4 モースの不等式
  11.5 コホモロジー
  11.6 無限次元空間のモース理論

第12章 調和写像論
  12.1 エネルギー
  12.2 調和写像の存在
  12.3 バブル現象
  12.4 複雑なシャボン玉の存在
  12.5 バネの運動と調和写像
  12.6 ループ群と無限次元グラスマン多様体

第13章 シンプレクティック幾何と古典力学
  13.1 シンプレクティック多様体
  13.2 古典力学の数学的方法
  13.3 リュービル-アーノルドの定理と対称性

第14章 ラグランジュ部分多様体
  14.1 ラグランジュ部分多様体
  14.2 S3の極小曲面とガウス像
  14.3 複素2次超曲面Qn(C)
  14.4 波面の幾何学とガウス像
  14.5 ハミルトン極小性とハミルトン安定性

第15章 フレアホモロジーと交叉理論
  15.1 ハミルトン微分同相
  15.2 ラグランジュ交叉
  15.3 モースホモロジー
  15.4 ラグランジュ交叉のフレアホモロジー
  15.5 オーによるフレアホモロジーの一般化
  15.6 等径超曲面とそのガウス像

第16章 新しい幾何学の潮流
  16.1 幾何学的群論
  16.2 測度距離空間

問の解答
あとがき
参考文献
索引