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SGCライブラリ 129

臨時別冊・数理科学2016年11月
「数理物理学としての微分方程式序論」

小澤 徹(早稲田大学教授) 著

定価:2,380円(本体2,204円+税)
発行:サイエンス社
発行日:2016-11-25
JAN 4910054701166 / B5判/200頁


<内容詳細>
本書は,主として物理現象を例に取り,現象の本質を記述する言葉である数学の機能が埋め込まれた対象としての微分方程式を論じたものである.本誌の連載「微分方程式を考える−数学は現象を如何に記述しているか」(2014年7月〜2016年7月)の待望の一冊化.

<目次>
第1章 序論-微分方程式の記述する現象とは何か-
  1.1 現象の模型化と微分方程式
  1.2 解の概念
  1.3 解かなくても分かることと解いて初めて分かること
  1.4 微分方程式の記述する現象とは何か

第2章 力とベクトル場
  2.1 ベクトルとは何か
  2.2 ベクトル空間の定義
  2.3 構造と力
  2.4 アフィン空間を平行移動による同値類で割った商空間として構成されるベクトル空間とその同型
  2.5 ノルム空間と内積空間
  2.6 ベクトル場と積分曲線

第3章 ニュートン力学の基礎的枠組み
  3.1 ガリレイ時空:時間と空間の分離
  3.2 ガリレイ変換とその構造
  3.3 ガリレイ時空の直積表示
  3.4 相空間
  3.5 二階のベクトル場
  3.6 ニュートン力学の基礎的枠組み

第4章 常微分方程式の初期値問題の局所解
  4.1 バナッハの不動点定理
  4.2 常微分方程式の初期値問題-完備性に基づく解法-
  4.3 部分列と対角線論法
  4.4 アスコリ・アルツェラの定理
  4.5 常微分方程式の初期値問題-点列コンパクト性に基づく解法-

第5章 常微分方程式の初期値問題の大域解
  5.1 基本設定
  5.2 リプシッツ連続相速度場の場合
  5.3 局所リプシッツ連続相速度場の場合
  5.4 狭義局所リプシッツ連続相速度場の場合

第6章 ニュートンの運動方程式の初期値問題の大域解
  6.1 ニュートンの運動方程式に対する初期値問題の解の存在と一意性
  6.2 集中型自己相互作用場の下での古典軌道
  6.3 平面運動を引き起こす力場
  6.4 平面への座標の導入
  6.5 中心力場の場合
  6.6 非集中型自己相互作用場の下での古典軌道
  6.7 直線上の古典軌道(1次元の場合)
  6.8 平面上の古典軌道(2次元の場合)

第7章 摩擦力と解の絶滅現象
  7.1 摩擦力の導入
  7.2 時間大域解の定義
  7.3 時間大域解の一意性
  7.4 近似解の構成 
  7.5 コンパクト性による時間大域解の構成
  7.6 解の絶滅現象

第8章 調和写像としてのニュートンの運動方程式
  8.1 調和写像の模型化としてのニュートンの運動方程式の導入
  8.2 単位球面上に束縛された質点の運動
  8.3 平面内の単位円周上に拘束された点の運動と三角関数
  8.4 調和写像方程式としてのニュートンの運動方程式

第9章 指数法則と指数写像
  9.1 有界線形作用素に対する指数写像
  9.2 非有界線形作用素に対する指数写像

第10章 摂動論的方法による半線形発展方程式の解法
  10.1 問題の設定
  10.2 リプシッツ摂動の場合
  10.3 局所リプシッツ摂動の場合
  10.4 C0半群の生成作用素の定義域における局所リプシッツ摂動の場合
  10.5 部分的局所リプシッツ摂動の場合

第11章 摂動論的方法による半線形発展方程式の解法の具体例
  11.1 非線形波動方程式の数学研究の歴史的概観
  11.2 初期値・境界値問題と臨界ソボレフ埋蔵
  11.3 初期値問題とストリッカーツ評価
  11.4 小さな摂動による時間大域解
  11.5 零形式
  11.6 フーリエ制限法

第12章 非摂動論的方法による非線形発展方程式の解法
  12.1 線形偏微分方程式と変数変換
  12.2 非線形偏微分方程式と変数変換
  12.3 無限次元ハミルトン系の弱解の構成

第13章 ミンコフスキ時空とローレンツ変換
  13.1 ガリレイ時空とミンコフスキ時空
  13.2 ローレンツ変換とその構造
  13.3 座標変換としてのローレンツ変換

第14章 対称性と微分作用素
  14.1 ガリレイ時空における変換族とその生成作用素
  14.2 球面上のラプラス作用素
  14.3 ミンコフスキ時空における変換群とその生成作用素
  14.4 双曲面上のラプラス作用素としてのダランベール作用素
  14.5 回転対称性と微分作用素
  14.6 現象の記述における二階微分作用素の位置付け

第15章 共形変換
  15.1 共形変換の定義と例
  15.2 線分の特徴付け
  15.3 共形変換の構造定理
  15.4 共形変換群の作用と線形表現

第16章 場の古典論を担う非線形偏微分方程式
  16.1 不変ソボレフ空間
  16.2 古典場のラグランジュ形式
  16.3 古典場のハミルトン形式
  16.4 古典場の数学的基礎をなす諸概念の関係
  16.5 様々なる臨界相互作用
  16.6 現象を記述する学問としての数学

参考文献
索引