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SGCライブラリ 107

臨時別冊・数理科学2014年5月
「パーコレーション理論講義」
〜 基礎からSLE理論の入口まで 〜

樋口保成(神戸大学教授) 著

定価:2,370円(本体2,194円+税)
発行:サイエンス社
発行日:2014-05-25
JAN 4910054700541 / B5判/144頁


<内容詳細>
統計物理の相転移モデルや数学におけるランダム性の極限定理として知られる“パーコレーション”の基礎と応用を現代的な立場から紹介.応用としては,フィールズ賞で注目されたスミルノフによる横断確率の等角不変性やSLE 理論の入口までを解説している.その他,イジング模型にも応用できる臨界点近傍のパーコレーションや無限グラフ上のパーコレーションも取り上げている.

<目次>
第1章 パーコレーション:基礎編
  1.1 パーコレーションとは
    1.1.1 ボンド問題
    1.1.2 一般化
    1.1.3 サイト問題
  1.2 パーコレーションの相転移と基本的な道具
    1.2.1 Harris-FKG不等式
    1.2.2 BK-Reimer不等式
    1.2.3 Russoの公式
  1.3 Sharp threshold theorem
    1.3.1 sharp threshold theorem
    1.3.2 sharp threshold theoremの証明:1)hyper-contractivity
    1.3.3 sharp threshold theoremの証明:2)定理1.12の証明
    1.3.4 横断確率の変化
  1.4 横断確率とRSW定理
    1.4.1 RSW定理
    1.4.2 p0=1/2の証明
    1.4.3 pcboud=1/2の証明
  1.5 高次元パーコレーションについて
    1.5.1 準備:カップリング,ワルドの等式
    1.5.2 臨界確率の一意性
    1.5.3 無限開クラスターの安定性
  1.6 無限開クラスターの一意性
    1.6.1 Newman-Schulmanの議論
    1.6.2 N≦1a.s.であること

第2章 応用編
  2.1 グラフ上のパーコレーション
    2.1.1 ニ分木上のパーコレーション
    2.1.2 non-amenableなグラフ上のパーコレーション
    2.1.3 quasi transitiveグラフ上のパーコレーション
    2.1.4 mass transport principle
    2.1.5 臨界点におけるパーコレーション確率の連続性:non-amenable case
  2.2 2次元の臨界点の近傍でのパーコレーション
    2.2.1 三角格子のサイトパーコレーション
    2.2.2 スケーリング関係式
    2.2.3 もう一つの相関距離L(ρ,ε)
    2.2.4 準備:基本となる評価 ― one arm
    2.2.5 L(ρ,ε)とξ(ρ)および指数γ
    2.2.6 指数δと指数δr
    2.2.7 準備:基本となる評価 ― four arms
    2.2.8 補題2.24の証明
    2.2.9 外側から中に伸ばしていく議論
    2.2.10 p=1/2のときの5armsと片側2,3armsに関する指数
    2.2.11 定理2.13の証明
    2.2.12 指数の対称性
  2.3 SLEの理論へ
    2.3.1 すこし関数論の復習
    2.3.2 Smirnovの定理
    2.3.3 等角不変性とSLE

参考文献

索引