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SGCライブラリ 66

臨時別冊・数理科学2008年9月
「物理のための リー群とリー代数」

窪田高弘(大阪大学教授) 著

定価:2,037円(本体1,886円+税)
発行:サイエンス社
発行日:2008-09-25
JAN 4910054700985 / B5判/200頁


<内容詳細>
物理学の理論展開にもとめられる数学的素養は拡がり続けており,その中で連続群に関係する部分は多い.本書はこのような時代の趨勢に対応し,個別の重要な群の解説と,リー群,リー代数の一般論との両立を図った現代的な教科書である.

<目次>
第1章 序論
  1.1 群の考え方
  1.2 対称群
  1.3 1次元ユニタリー群U(1)
  1.4 3次元回転群SO(3)
  1.5 2次元特殊ユニタリ−群SU(2)
  1.6 正規部分群,余剰類群
  1.7 群の表現
  1.8 既約表現,可約表現
  1.9 様々な群の例

第2章 連続変換群
  2.1 座標の連続的変換と群
  2.2 リーの基本定理
  2.3 リー代数の随伴表現
  2.4 具体的な例
  2.5 構造定数からのリー群の構成(リーの定理の逆)
  2.6 SO(3)とSO(3),SU(2)とSU(2)

第3章 線形リー群とそのリー代数
  3.1 線形変換とリー理論
  3.2 線形リー群
  3.3 指数表示
  3.4 線形リー群の単位元近傍
  3.5 微分表現
  3.6 連結成分,ホモトープ,単連結
  3.7 普遍被覆群
  3.8 線形リー群とそのリー代数の具体例

第4章 単純リー代数の分類
  4.1 イデアル,単純,半単純
  4.2 ランク,カルタン部分代数,ルート
  4.3 計量テンソル,キリング形式
  4.4 ルートの性質
  4.5 標準基底
  4.6 キリング・カルタンの分類
  4.7 基本系とカルタン行列
  4.8 ディンキン図

第5章 3次元空間の回転と角運動量
  5.1 3次元空間回転の代数構造
  5.2 球面調和関数
  5.3 半整数の角運動量の場合の代数の表現
  5.4 角運動量の合成

第6章 回転群の表現
  6.1 SO(3)とSU(2)の関係(再論)
  6.2 群の随伴表現
  6.3 SU(2)のユニタリー表現
  6.4 D(j)mk(α,β,γ)の直交関係および満たすべき微分方程式
  6.5 クレブシュ・ゴルダン係数の一般公式
  6.6 3次元回転群のスピノル
  6.7 テンソル演算子
  6.8 ウィグナー・エッカートの定理
  6.9 勾配公式(ウィグナー・エッカートの定理の応用)
  6.10 ベクトル場と調和関数
  6.11 スピノル群

第7章 既約表現の分類
  7.1 ウェイト
  7.2 鏡映
  7.3 ワイル群
  7.4 最高ウェイト
  7.5 ウェイト図
  7.6 ディンキンラベル
  7.7 既約表現の次元

第8章 群上の積分
  8.1 不変積分
  8.2 指標
  8.3 SU(2)の積表現のクレブシュ・ゴルダン分解
  8.4 SU(2)上の調和解析

第9章 ハドロンの分類
  9.1 1950年代以降の素粒子論
  9.2 クォーク
  9.3 SU(3)の表現
  9.4 直積表現とその分解
  9.5 中間子,重粒子
  9.6 カシミール演算子
  9.7 SU(3)のクレブシュ・ゴルダン係数
  9.8 SU(3)の場合のウィグナー・エッカートの定理

第10章 ゲージ相互作用の統一的記述
  10.1 電弱統一理論
  10.2 素粒子のさらなる統一的記述に向けて
  10.3 半単純リー代数の部分代数

第11章 ローレンツ群
  11.1 ローレンツ変換
  11.2 SL(2,C)
  11.3 ローレンツ群のスピノル
  11.4 相対論的方程式


付録A 定理3.13の証明
付録B 角運動量と生成・消滅演算子
付録C 例外型リー代数の基本ウェイト
索引