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SGCライブラリ 85

臨時別冊・数理科学2011年10月
「実例で学ぶ精度保証付き数値計算」
〜 理論と実装 〜

中尾充宏(九州大学名誉教授)
渡部善隆(九州大学准教授) 著

定価:2,551円(本体2,362円+税)
発行:サイエンス社
発行日:2011-10-25
JAN 4910054701012 / B5判/216頁


<内容詳細>
非線形微分方程式の解の数値的存在検証について,その原理とアルゴリズムをなるべく一般的な形で整理・分類して提示し,合わせて具体的な問題に対する検証のプログラムを示した得難い一冊.

<目次>
第1章 「精度保証付き数値計算」とは
  1.1 数値計算の誤差
  1.2 精度保証付き数値計算
  1.3 “きわめて希”な例
  1.4 計算の本質保証のために

第2章 区間演算と有限次元問題の精度保証
  2.1 区間演算
  2.2 INTLABの概要と基本的な使い方
  2.3 Krawczyk法による有限次元問題の精度保証
  2.4 連立1次方程式の精度保証
  2.5 固有値問題の精度保証
  2.6 正定値性の判定
  2.7 スペクトルノルムの評価
  2.8 ||D^H/2 G^-1 D^1/2||_2の評価
  2.9 ||D^H/2 G^-1 L^1/2||_2の評価
  2.10 Krawczyk法の適用例―“幻影解”の作成と検証

第3章 精度保証付き数値計算の原理
  3.1 解の検証アルゴリズムの紹介
  3.2 問題設定
  3.3 不動点定式化
  3.4 適用する不動点定理の紹介
  3.5 有限次元部分空間と射影誤差
  3.6 逐次反復に基づく検証手法:FS-Int
  3.7 Newton型作用素に基づく検証手法:FN-Int
  3.8 引き戻し手法による精度の改善
  3.9 FN-Intの局所一意性版:FN-IntU
  3.10 有限次元ノルム評価に基づく検証手法:FN-Norm
  3.11 FN-Normの局所一意性版:FN-NormU
  3.12 無限次元逐次反復に基づく検証手法:IS-Res
  3.13 無限次元Newton法に基づく検証手法:IN-Linz
  3.14 線形化作用素の可逆性
  3.15 可逆性条件を用いたL^-1のノルム評価
  3.16 L^-1のノルムの直接評価

第4章 精度保証付き数値計算の展開
  4.1 2階楕円型境界値問題
  4.2 流体方程式
  4.3 固有値問題
  4.4 発展方程式
  4.5 初期値問題
  4.6 常微分方程式の境界値問題
  4.7 その他

第5章 精度保証付き数値計算の簡単な例
  5.1 問題と検証アルゴリズム
  5.2 関数空間の設定
  5.3 近似解の計算
  5.4 解の検証

第6章 非線形常微分方程式の精度保証プログラミング例
  6.1 問題
  6.2 コード一覧
  6.3 不動点定式化
  6.4 有限次元空間と射影誤差
  6.5 近似解の計算
  6.6 近似解の概形
  6.7 FN-Int有限次元
  6.8 FN-Int無限次元
  6.9 FN-Intによる解bの存在検証
  6.10 無限次元Newton法IN-Linzに基づく検証

第7章 非線形偏微分方程式の精度保証プログラミング例
  7.1 問題
  7.2 コード一覧
  7.3 Hilbert空間の設定
  7.4 有限次元部分空間と射影誤差
  7.5 埋め込み定数の評価
  7.6 近似解の計算
  7.7 近似解の概形
  7.8 FN-Int有限次元
  7.9 FN-Int無限次元
  7.10 FN-Intによる解の存在検証
  7.11 無限次元逐次反復IS-Resに基づく検証
  7.12 無限次元Newton法IN-Linzに基づく検証

第8章 関数解析学の用語集
  8.1 内積とノルム
  8.2 Banach空間とHilbert空間
  8.3 作用素
  8.4 空間,集合あれこれ
  8.5 コンパクト作用素
  8.6 L^p(Ω),H^m(Ω),H^m_0(Ω)
  8.7 埋め込み
  8.8 Fredholmの交代定理

参考文献
索引