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◆SGCライブラリ(臨時別冊・数理科学)
近年、特に大学理工系の大学院の充実はめざましいものがあります。しかしながら学部上級課程や大学院課程の学術的なテキスト・参考書はきわめて少ないのが現状です。
本ライブラリは、これらの状況を踏まえて、数理科学諸分野および関連する領域から現代的なテーマやトピックスを順次とりあげ、時代の要請に応える魅力的なライブラリを構築しようとするものです。


SGCライブラリ 150

臨時別冊・数理科学2019年6月
「幾何学から物理学へ」
〜 物理を圏論・微分幾何の言葉で語ろう 〜

谷村省吾(名古屋大学教授) 著

定価:2,420円(本体2,241円+税)
発行:サイエンス社
発行日:2019-06-25
JAN 4910054700695 / B5判/208頁
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<内容詳細>
『理工系のためのトポロジー・圏論・微分幾何』(2006年,SGC-52,電子版:2013年)の姉妹編.前書では説明しきれなかった数学概念について詳しい説明を補い,かつ,もの足りなかった応用編の部分を拡充することが,本書の狙いである.月刊誌「数理科学」の同名の連載(2016年8月〜2019年1月)の待望の一冊化.

<目次>
第1章 集合と写像
  1.1 数学記号の書き方・読み方
  1.2 ラッセルのパラドクス
  1.3 写像と図式

第2章 ベクトル空間と双対空間
  2.1 体と環
  2.2 ベクトル空間と線形写像
  2.3 双対空間
  2.4 引き戻しと双対作用素
  2.5 数ベクトル空間の双対空間

第3章 ベクトル空間の枠と変換則
  3.1 数ベクトル空間
  3.2 部分空間
  3.3 枠とベクトルの成分表示
  3.4 作用素の行列表示
  3.5 枠の変換
  3.6 作用素の行列表示の変換則

第4章 枠・枠変換と関手・自然変換
  4.1 ベクトル空間の枠
  4.2 圏
  4.3 関手
  4.4 自然変換
  4.5 普遍性

第5章 テンソル積の普遍性
  5.1 多重線形写像
  5.2 関数積としてのテンソル積
  5.3 テンソル積空間の普遍性
  5.4 圏論的テンソル積空間の構成
  5.5 テンソルの同等な書き換え

第6章 テンソル代数と物理量
  6.1 テンソルとしての物理量と次元解析
  6.2 高階のテンソル
  6.3 テンソル成分の変換則
  6.4 テンソルどうしのテンソル積
  6.5 縮約とトレース

第7章 外積代数
  7.1 面積と反対称性
  7.2 コベクトルの外積
  7.3 ベクトルの外積
  7.4 外積の圏論的特徴

第8章 向き付けと捩テンソル
  8.1 向きについて考える
  8.2 向き付け
  8.3 捩形式
  8.4 向き集合の双対
  8.5 高階の捩テンソル
  8.6 写像の向き
  8.7 捩テンソルの成分の変換則
  8.8 絶対値のような写像

第9章 スハウテン表示と鎖体・境界
  9.1 向き付けと捩形式
  9.2 等位面の族
  9.3 ベクトルの図示化
  9.4 コベクトルの図示化
  9.5 捩ベクトルの図示化
  9.6 捩コベクトルの図示化
  9.7 鎖体と境界

第10章 体積形式と内積とホッジ変換
  10.1 横切る図形と横切られる図形の双対性
  10.2 体積形式
  10.3 双線形形式
  10.4 ユークリッド計量
  10.5 ホッジ変換

第11章 ミンコフスキー計量とシンプレクティック形式
  11.1 ミンコフスキー空間
  11.2 ローレンツ変換
  11.3 ミンコフスキー空間の幾何と物理
  11.4 ミンコフスキー計量が誘導する体積形式とホッジ変換
  11.5 シンプレクティック形式

第12章 多様体
  12.1 多様体論は何をするのか,なぜそれをするのか
  12.2 多様体
  12.3 多様体から多様体への写像
  12.4 接ベクトルと余接ベクトル
  12.5 座標変換と接ベクトル・余接ベクトルの成分の変換
  12.6 多様体間の写像から派生する写像
  12.7 テンソル束とテンソル場

第13章 多様体上の微積分
  13.1 ベクトル場が生成するフロー
  13.2 リー微分
  13.3 多様体の境界と向き
  13.4 微分形式の積分

第14章 ホモロジーとコホモロジー
  14.1 なぜ微分形式は積分されるのか
  14.2 接的向きから横断的向きへの変更
  14.3 捩鎖体の横断的向き付け
  14.4 捩鎖体の境界
  14.5 捩微分形式の捩鎖体上の積分
  14.6 外微分とストークスの定理
  14.7 ホモロジー群とコホモロジー群
  14.8 ホモトピーとポアンカレの補題

第15章 幾何学的な電磁気学
  15.1 電荷と電流
  15.2 静電場とスカラーポテンシャル
  15.3 磁場とベクトルポテンシャル
  15.4 ファラデイの法則
  15.5 ガウスの法則
  15.6 アンペール・マクスウェルの法則
  15.7 マクスウェル方程式と構成方程式
  15.8 相対論的定式化

第16章 カレントで表される電磁気量
  16.1 ペアリング
  16.2 カレント
  16.3 カレントの微分
  16.4 局在した電磁気量

第17章 物質中の電磁場
  17.1 束縛電荷と自由電荷
  17.2 平滑化
  17.3 物質中の電磁場の方程式
  17.4 分極と磁化の幾何学的意味
  17.5 物質中の電磁場の測定方法
  17.6 電磁場のエネルギー・運動量とアブラハム・ミンコフスキー論争

第18章 幾何学的なハミルトン力学
  18.1 幾何学と力学
  18.2 シンプレクティック多様体
  18.3 シンプレクティック多様体の局所的な構造
  18.4 ハミルトンベクトル場と変分原理
  18.5 ポアソン括弧
  18.6 積分不変量

第19章 リー群・リー代数と力学系の対称性
  19.1 対称性と群
  19.2 リー群
  19.3 リー代数
  19.4 シンプレクティック変換
  19.5 対称性と保存則
  19.6 運動量写像

第20章 力学系の簡約とゲージ対称性
  20.1 ラグランジアンの循環座標と簡約
  20.2 ハミルトニアンの簡約
  20.3 マルスデン・ワインスタイン簡約
  20.4 電荷保存則による簡約

付録A テンソル積と外積の規約

付録B ダルブーの定理の証明
  B.1 反対称双線形形式の標準形
  B.2 ダルブーの定理

あとがき
参考文献
索引

SGCライブラリ 151
臨時別冊・数理科学2019年7月
物理系のための複素幾何入門
 − 多様体,微分形式,ベクトル束,層,複素構造とその変形 −
秦泉寺雅夫 著  予価2,454円
立読み不可


<内容>

物理系の読者に向けた複素多様体論のテキスト.物理畑出身の著者が数学科で教えてきた経験をもとに,定理の証明の理解よりもその使い方に重点を置いて記述している.多様体論,ホモロジー論,コホモロジー論をはじめ,複素関数論から複素多様体の導入,複素多様体上での微分形式等の使い方に加え,楕円曲線の複素構造のモジュライ空間まで解説.

<目次>
多様体と位相幾何/正則関数と複素多様体/微分形式,ベクトル束,層/複素構造の変形と数理物理学