第1章 集合と写像
1.1 数学記号の書き方・読み方
1.2 ラッセルのパラドクス
1.3 写像と図式
第2章 ベクトル空間と双対空間
2.1 体と環
2.2 ベクトル空間と線形写像
2.3 双対空間
2.4 引き戻しと双対作用素
2.5 数ベクトル空間の双対空間
第3章 ベクトル空間の枠と変換則
3.1 数ベクトル空間
3.2 部分空間
3.3 枠とベクトルの成分表示
3.4 作用素の行列表示
3.5 枠の変換
3.6 作用素の行列表示の変換則
第4章 枠・枠変換と関手・自然変換
4.1 ベクトル空間の枠
4.2 圏
4.3 関手
4.4 自然変換
4.5 普遍性
第5章 テンソル積の普遍性
5.1 多重線形写像
5.2 関数積としてのテンソル積
5.3 テンソル積空間の普遍性
5.4 圏論的テンソル積空間の構成
5.5 テンソルの同等な書き換え
第6章 テンソル代数と物理量
6.1 テンソルとしての物理量と次元解析
6.2 高階のテンソル
6.3 テンソル成分の変換則
6.4 テンソルどうしのテンソル積
6.5 縮約とトレース
第7章 外積代数
7.1 面積と反対称性
7.2 コベクトルの外積
7.3 ベクトルの外積
7.4 外積の圏論的特徴
第8章 向き付けと捩テンソル
8.1 向きについて考える
8.2 向き付け
8.3 捩形式
8.4 向き集合の双対
8.5 高階の捩テンソル
8.6 写像の向き
8.7 捩テンソルの成分の変換則
8.8 絶対値のような写像
第9章 スハウテン表示と鎖体・境界
9.1 向き付けと捩形式
9.2 等位面の族
9.3 ベクトルの図示化
9.4 コベクトルの図示化
9.5 捩ベクトルの図示化
9.6 捩コベクトルの図示化
9.7 鎖体と境界
第10章 体積形式と内積とホッジ変換
10.1 横切る図形と横切られる図形の双対性
10.2 体積形式
10.3 双線形形式
10.4 ユークリッド計量
10.5 ホッジ変換
第11章 ミンコフスキー計量とシンプレクティック形式
11.1 ミンコフスキー空間
11.2 ローレンツ変換
11.3 ミンコフスキー空間の幾何と物理
11.4 ミンコフスキー計量が誘導する体積形式とホッジ変換
11.5 シンプレクティック形式
第12章 多様体
12.1 多様体論は何をするのか，なぜそれをするのか
12.2 多様体
12.3 多様体から多様体への写像
12.4 接ベクトルと余接ベクトル
12.5 座標変換と接ベクトル・余接ベクトルの成分の変換
12.6 多様体間の写像から派生する写像
12.7 テンソル束とテンソル場
第13章 多様体上の微積分
13.1 ベクトル場が生成するフロー
13.2 リー微分
13.3 多様体の境界と向き
13.4 微分形式の積分
第14章 ホモロジーとコホモロジー
14.1 なぜ微分形式は積分されるのか
14.2 接的向きから横断的向きへの変更
14.3 捩鎖体の横断的向き付け
14.4 捩鎖体の境界
14.5 捩微分形式の捩鎖体上の積分
14.6 外微分とストークスの定理
14.7 ホモロジー群とコホモロジー群
14.8 ホモトピーとポアンカレの補題
第15章 幾何学的な電磁気学
15.1 電荷と電流
15.2 静電場とスカラーポテンシャル
15.3 磁場とベクトルポテンシャル
15.4 ファラデイの法則
15.5 ガウスの法則
15.6 アンペール・マクスウェルの法則
15.7 マクスウェル方程式と構成方程式
15.8 相対論的定式化
第16章 カレントで表される電磁気量
16.1 ペアリング
16.2 カレント
16.3 カレントの微分
16.4 局在した電磁気量
第17章 物質中の電磁場
17.1 束縛電荷と自由電荷
17.2 平滑化
17.3 物質中の電磁場の方程式
17.4 分極と磁化の幾何学的意味
17.5 物質中の電磁場の測定方法
17.6 電磁場のエネルギー・運動量とアブラハム・ミンコフスキー論争
第18章 幾何学的なハミルトン力学
18.1 幾何学と力学
18.2 シンプレクティック多様体
18.3 シンプレクティック多様体の局所的な構造
18.4 ハミルトンベクトル場と変分原理
18.5 ポアソン括弧
18.6 積分不変量
第19章 リー群・リー代数と力学系の対称性
19.1 対称性と群
19.2 リー群
19.3 リー代数
19.4 シンプレクティック変換
19.5 対称性と保存則
19.6 運動量写像
第20章 力学系の簡約とゲージ対称性
20.1 ラグランジアンの循環座標と簡約
20.2 ハミルトニアンの簡約
20.3 マルスデン・ワインスタイン簡約
20.4 電荷保存則による簡約
付録A テンソル積と外積の規約
付録B ダルブーの定理の証明
B.1 反対称双線形形式の標準形
B.2 ダルブーの定理
あとがき
参考文献
索引
1.1 数学記号の書き方・読み方
1.2 ラッセルのパラドクス
1.3 写像と図式
第2章 ベクトル空間と双対空間
2.1 体と環
2.2 ベクトル空間と線形写像
2.3 双対空間
2.4 引き戻しと双対作用素
2.5 数ベクトル空間の双対空間
第3章 ベクトル空間の枠と変換則
3.1 数ベクトル空間
3.2 部分空間
3.3 枠とベクトルの成分表示
3.4 作用素の行列表示
3.5 枠の変換
3.6 作用素の行列表示の変換則
第4章 枠・枠変換と関手・自然変換
4.1 ベクトル空間の枠
4.2 圏
4.3 関手
4.4 自然変換
4.5 普遍性
第5章 テンソル積の普遍性
5.1 多重線形写像
5.2 関数積としてのテンソル積
5.3 テンソル積空間の普遍性
5.4 圏論的テンソル積空間の構成
5.5 テンソルの同等な書き換え
第6章 テンソル代数と物理量
6.1 テンソルとしての物理量と次元解析
6.2 高階のテンソル
6.3 テンソル成分の変換則
6.4 テンソルどうしのテンソル積
6.5 縮約とトレース
第7章 外積代数
7.1 面積と反対称性
7.2 コベクトルの外積
7.3 ベクトルの外積
7.4 外積の圏論的特徴
第8章 向き付けと捩テンソル
8.1 向きについて考える
8.2 向き付け
8.3 捩形式
8.4 向き集合の双対
8.5 高階の捩テンソル
8.6 写像の向き
8.7 捩テンソルの成分の変換則
8.8 絶対値のような写像
第9章 スハウテン表示と鎖体・境界
9.1 向き付けと捩形式
9.2 等位面の族
9.3 ベクトルの図示化
9.4 コベクトルの図示化
9.5 捩ベクトルの図示化
9.6 捩コベクトルの図示化
9.7 鎖体と境界
第10章 体積形式と内積とホッジ変換
10.1 横切る図形と横切られる図形の双対性
10.2 体積形式
10.3 双線形形式
10.4 ユークリッド計量
10.5 ホッジ変換
第11章 ミンコフスキー計量とシンプレクティック形式
11.1 ミンコフスキー空間
11.2 ローレンツ変換
11.3 ミンコフスキー空間の幾何と物理
11.4 ミンコフスキー計量が誘導する体積形式とホッジ変換
11.5 シンプレクティック形式
第12章 多様体
12.1 多様体論は何をするのか，なぜそれをするのか
12.2 多様体
12.3 多様体から多様体への写像
12.4 接ベクトルと余接ベクトル
12.5 座標変換と接ベクトル・余接ベクトルの成分の変換
12.6 多様体間の写像から派生する写像
12.7 テンソル束とテンソル場
第13章 多様体上の微積分
13.1 ベクトル場が生成するフロー
13.2 リー微分
13.3 多様体の境界と向き
13.4 微分形式の積分
第14章 ホモロジーとコホモロジー
14.1 なぜ微分形式は積分されるのか
14.2 接的向きから横断的向きへの変更
14.3 捩鎖体の横断的向き付け
14.4 捩鎖体の境界
14.5 捩微分形式の捩鎖体上の積分
14.6 外微分とストークスの定理
14.7 ホモロジー群とコホモロジー群
14.8 ホモトピーとポアンカレの補題
第15章 幾何学的な電磁気学
15.1 電荷と電流
15.2 静電場とスカラーポテンシャル
15.3 磁場とベクトルポテンシャル
15.4 ファラデイの法則
15.5 ガウスの法則
15.6 アンペール・マクスウェルの法則
15.7 マクスウェル方程式と構成方程式
15.8 相対論的定式化
第16章 カレントで表される電磁気量
16.1 ペアリング
16.2 カレント
16.3 カレントの微分
16.4 局在した電磁気量
第17章 物質中の電磁場
17.1 束縛電荷と自由電荷
17.2 平滑化
17.3 物質中の電磁場の方程式
17.4 分極と磁化の幾何学的意味
17.5 物質中の電磁場の測定方法
17.6 電磁場のエネルギー・運動量とアブラハム・ミンコフスキー論争
第18章 幾何学的なハミルトン力学
18.1 幾何学と力学
18.2 シンプレクティック多様体
18.3 シンプレクティック多様体の局所的な構造
18.4 ハミルトンベクトル場と変分原理
18.5 ポアソン括弧
18.6 積分不変量
第19章 リー群・リー代数と力学系の対称性
19.1 対称性と群
19.2 リー群
19.3 リー代数
19.4 シンプレクティック変換
19.5 対称性と保存則
19.6 運動量写像
第20章 力学系の簡約とゲージ対称性
20.1 ラグランジアンの循環座標と簡約
20.2 ハミルトニアンの簡約
20.3 マルスデン・ワインスタイン簡約
20.4 電荷保存則による簡約
付録A テンソル積と外積の規約
付録B ダルブーの定理の証明
B.1 反対称双線形形式の標準形
B.2 ダルブーの定理
あとがき
参考文献
索引
