0 序論
0-1 記号と名称
0-2 微分方程式の具体例
1 1階常微分方程式
1-1 方向場．最も簡単な積分可能なタイプ
1-1-1 方向場と解曲線
1-1-2 変数分離法
1-1-3 相似形微分方程式
1-1-4 相似形に帰着できる簡単な場合
1-2 1階線形微分方程式
1-2-1 同次方程式．非同次方程式．自明な解
1-2-2 同次方程式の解法
1-2-3 非同次方程式の解法
1-3 ベルヌイの微分方程式
1-3-1 線形微分方程式への還元
1-3-2 リッカチの微分方程式
1-4 積分因子
1-4-1 完全微分方程式
1-4-2 積分因子
1-5 解の存在問題と一意性問題の準備
1-5-1 1価方向場と多価方向場
1-5-2 解の非一意性
1-5-3 リプシッツ条件，強い形と弱い形
1-5-4 逐次近似法
1-6 一般の存在定理と一意性定理
1-6-1 存在定理
1-6-2 一意性の証明
1-6-3 連立微分方程式の場合
1-6-4 n階微分方程式の場合
1-7 特異線素
1-7-1 正則線素と特異線素
1-7-2 特異解の例
1-7-3 孤立特異点
1-7-4 孤立特異点の一般理論
1-7-5 クレーローとダランベールの微分方程式
1-7-6 1自由度の振動．相平面
1-7-7 振動と相曲線の例
1-8 演習問題
2 高階常微分方程式
2-1 非線形微分方程式のいくつかのタイプ
2-1-1 未知関数yが陽にあらわれていない微分方程式
2-1-2 微分方程式y"=f(y)とエネルギー積分
2-1-3 xが陽にあらわれていない一般の微分方程式
2-1-4 比y(ν)/yのみを含む微分方程式
2-2 線形微分方程式の基本定理
2-2-1 記号
2-2-2 重ね合わせの定理
2-2-3 線形微分方程式の階数の降下
2-3 線形微分方程式の基本解系
2-3-1 関数の線系従属
2-3-2 関数の線形独立性とロンスキ行列式
2-3-3 線形微分方程式の一般解
2-4 定数係数線形微分方程式
2-4-1 解の公式と特性方程式
2-4-2 特性方程式の重根
2-4-3 安定性の条件
2-4-4 強制振動の方程式
2-4-5 同次振動方程式の解
2-5 特殊解の決定
2-5-1 定数変化法
2-5-2 試みの規則
2-5-3 複素微分方程式の導入
2-5-4 共鳴の場合
2-6 オイラーの微分方程式
2-6-1 解の公式と特性方程式
2-6-2 例
2-7 連立微分方程式
2-7-1 例 自動車の振動(連成系)
2-7-2 解の基本系
2-7-3 定数変化法による非同次系の解法
2-7-4 定数行列A．行列の固有値
2-7-5 正方行列論における3種の主要なクラス
2-7-6 振動論への応用
2-7-7 正規化不能行列をもつ物理系の例
2-7-8 正規行列および非正規行列の対角形への変換
2-8 周期係数をもつ線形微分方程式
2-8-1 工学からの例
2-8-2 連立同次方程式の周期解
2-8-3 安定性
2-8-4 連立非同次方程式の周期解
2-8-5 安定性理論の例
2-8-6 演習問題
3 境界値問題．とくに固有値問題
3-0 初期値問題と境界値問題
3-1 境界値問題の例
3-1-1 梁．いくつもの微分方程式の場
3-1-2 線形境界値問題の解の個数
3-2 非線形境界条件の例
3-2-1 懸垂線の微分方程式
3-2-2 微分方程式y"=y2
3-2-3 境界値問題y"=-y3の可算無限個の解
3-3 常微分方程式の線形境界値問題の交代定理
3-3-1 半同次および完全同次境界値問題
3-3-2 一般の交代定理
3-4 グリーン関数による境界値問題の解法
3-4-1 グリーン関数の簡単な例
3-4-2 影響関数としてのグリーン関数
3-4-3 グリーン関数の一般の定義
3-4-4 境界値問題の解の公式
3-5 境界値問題の例
3-5-1 完全同次境界値問題
3-5-2 非線形境界値問題
3-5-3 心棒の捩れ振動の偏微分方程式
3-5-4 固有振動に対するベルヌイのおき換え
3-6 固有値問題と正規直交系
3-6-1 自己随伴かつ完全定値な固有値問題
3-6-2 固有関数の直交性
3-6-3 正規直交系
3-6-4 多項式の正規直交系
3-6-5 平均近似
3-6-6 展開定理について
3-7 演習問題
4 特殊な微分方程式
4-1 球関数
4-1-1 ポテンシャル方程式の解
4-1-2 母関数
4-1-3 第2種球関数
4-1-4 ルジャンドル多項式の別な表現
4-1-5 直交性
4-2 円柱関数
4-2-1 膜の振動の微分方程式
4-2-2 ベルヌイのおき換え
4-2-3 母関数
4-2-4 母関数による結果
4-2-5 積分による表現
4-2-6 天文学からの例．ケプラーの方程式
4-2-7 第2種ベッセル関数
4-2-8 一般の微分方程式
4-2-9 円形膜の振動
4-3 級数展開．超幾何関数
4-3-1 級数の方法．決定方程式
4-3-2 決定方程式の根
4-3-3 例 超幾何微分方程式
4-4 演習問題
5 補充事項
5-1 定数係数線形偏微分方程式の一般解
5-1-1 簡単な線形偏微分方程式
5-1-2 波動方程式とポテンシャル方程式
5-2 ポテンシャル論の境界値問題
5-2-1 円領域に対する境界値問題の解法
5-2-2 例 温度分布
5-3 常微分方程式の近似解法
5-3-1 準備，粗い近似法[Euler法]
5-3-2 ルンゲ・クッタの近似積分公式
5-3-3 中心階差法
5-3-4 差分法
5-3-5 多点法
5-3-6 リッツ法
5-4 演習問題
6 演習問題解答
7 付録
7-1 ラプラス変換
7-2 科学・技術問題の一覧
0-1 記号と名称
0-2 微分方程式の具体例
1 1階常微分方程式
1-1 方向場．最も簡単な積分可能なタイプ
1-1-1 方向場と解曲線
1-1-2 変数分離法
1-1-3 相似形微分方程式
1-1-4 相似形に帰着できる簡単な場合
1-2 1階線形微分方程式
1-2-1 同次方程式．非同次方程式．自明な解
1-2-2 同次方程式の解法
1-2-3 非同次方程式の解法
1-3 ベルヌイの微分方程式
1-3-1 線形微分方程式への還元
1-3-2 リッカチの微分方程式
1-4 積分因子
1-4-1 完全微分方程式
1-4-2 積分因子
1-5 解の存在問題と一意性問題の準備
1-5-1 1価方向場と多価方向場
1-5-2 解の非一意性
1-5-3 リプシッツ条件，強い形と弱い形
1-5-4 逐次近似法
1-6 一般の存在定理と一意性定理
1-6-1 存在定理
1-6-2 一意性の証明
1-6-3 連立微分方程式の場合
1-6-4 n階微分方程式の場合
1-7 特異線素
1-7-1 正則線素と特異線素
1-7-2 特異解の例
1-7-3 孤立特異点
1-7-4 孤立特異点の一般理論
1-7-5 クレーローとダランベールの微分方程式
1-7-6 1自由度の振動．相平面
1-7-7 振動と相曲線の例
1-8 演習問題
2 高階常微分方程式
2-1 非線形微分方程式のいくつかのタイプ
2-1-1 未知関数yが陽にあらわれていない微分方程式
2-1-2 微分方程式y"=f(y)とエネルギー積分
2-1-3 xが陽にあらわれていない一般の微分方程式
2-1-4 比y(ν)/yのみを含む微分方程式
2-2 線形微分方程式の基本定理
2-2-1 記号
2-2-2 重ね合わせの定理
2-2-3 線形微分方程式の階数の降下
2-3 線形微分方程式の基本解系
2-3-1 関数の線系従属
2-3-2 関数の線形独立性とロンスキ行列式
2-3-3 線形微分方程式の一般解
2-4 定数係数線形微分方程式
2-4-1 解の公式と特性方程式
2-4-2 特性方程式の重根
2-4-3 安定性の条件
2-4-4 強制振動の方程式
2-4-5 同次振動方程式の解
2-5 特殊解の決定
2-5-1 定数変化法
2-5-2 試みの規則
2-5-3 複素微分方程式の導入
2-5-4 共鳴の場合
2-6 オイラーの微分方程式
2-6-1 解の公式と特性方程式
2-6-2 例
2-7 連立微分方程式
2-7-1 例 自動車の振動(連成系)
2-7-2 解の基本系
2-7-3 定数変化法による非同次系の解法
2-7-4 定数行列A．行列の固有値
2-7-5 正方行列論における3種の主要なクラス
2-7-6 振動論への応用
2-7-7 正規化不能行列をもつ物理系の例
2-7-8 正規行列および非正規行列の対角形への変換
2-8 周期係数をもつ線形微分方程式
2-8-1 工学からの例
2-8-2 連立同次方程式の周期解
2-8-3 安定性
2-8-4 連立非同次方程式の周期解
2-8-5 安定性理論の例
2-8-6 演習問題
3 境界値問題．とくに固有値問題
3-0 初期値問題と境界値問題
3-1 境界値問題の例
3-1-1 梁．いくつもの微分方程式の場
3-1-2 線形境界値問題の解の個数
3-2 非線形境界条件の例
3-2-1 懸垂線の微分方程式
3-2-2 微分方程式y"=y2
3-2-3 境界値問題y"=-y3の可算無限個の解
3-3 常微分方程式の線形境界値問題の交代定理
3-3-1 半同次および完全同次境界値問題
3-3-2 一般の交代定理
3-4 グリーン関数による境界値問題の解法
3-4-1 グリーン関数の簡単な例
3-4-2 影響関数としてのグリーン関数
3-4-3 グリーン関数の一般の定義
3-4-4 境界値問題の解の公式
3-5 境界値問題の例
3-5-1 完全同次境界値問題
3-5-2 非線形境界値問題
3-5-3 心棒の捩れ振動の偏微分方程式
3-5-4 固有振動に対するベルヌイのおき換え
3-6 固有値問題と正規直交系
3-6-1 自己随伴かつ完全定値な固有値問題
3-6-2 固有関数の直交性
3-6-3 正規直交系
3-6-4 多項式の正規直交系
3-6-5 平均近似
3-6-6 展開定理について
3-7 演習問題
4 特殊な微分方程式
4-1 球関数
4-1-1 ポテンシャル方程式の解
4-1-2 母関数
4-1-3 第2種球関数
4-1-4 ルジャンドル多項式の別な表現
4-1-5 直交性
4-2 円柱関数
4-2-1 膜の振動の微分方程式
4-2-2 ベルヌイのおき換え
4-2-3 母関数
4-2-4 母関数による結果
4-2-5 積分による表現
4-2-6 天文学からの例．ケプラーの方程式
4-2-7 第2種ベッセル関数
4-2-8 一般の微分方程式
4-2-9 円形膜の振動
4-3 級数展開．超幾何関数
4-3-1 級数の方法．決定方程式
4-3-2 決定方程式の根
4-3-3 例 超幾何微分方程式
4-4 演習問題
5 補充事項
5-1 定数係数線形偏微分方程式の一般解
5-1-1 簡単な線形偏微分方程式
5-1-2 波動方程式とポテンシャル方程式
5-2 ポテンシャル論の境界値問題
5-2-1 円領域に対する境界値問題の解法
5-2-2 例 温度分布
5-3 常微分方程式の近似解法
5-3-1 準備，粗い近似法[Euler法]
5-3-2 ルンゲ・クッタの近似積分公式
5-3-3 中心階差法
5-3-4 差分法
5-3-5 多点法
5-3-6 リッツ法
5-4 演習問題
6 演習問題解答
7 付録
7-1 ラプラス変換
7-2 科学・技術問題の一覧
