1 偏微分方程式
1-1 序論
1-1-1 拡散方程式の導出
1-1-2 熱伝導現象のモデル化
1-1-3 波動方程式の導出
1-1-4 波動方程式の解
1-1-5 波動方程式・重ね合せの原理
1-2 1階偏微分方程式
1-2-1 完全解・一般解・特異解
1-2-2 1階偏微分方程式の解法(I)
1-2-3 1階偏微分方程式の解法(II)
1-2-4 1階偏微分方程式の解法(III)
1-3 2階偏微分方程式
1-3-1 定数係数2階線形偏微分方程式
1-3-2 2階線形偏微分方程式の標準形(I)
1-3-3 2階線形偏微分方程式の標準形(II)
1-3-4 2階線形偏微分方程式の標準形(III)
1-4 限定問題
1-4-1 波動方程式の初期値問題
1-4-2 波動方程式の混合問題
1-4-3 熱伝導方程式の混合問題
1-4-4 ラプラス方程式の境界値問題(I)
1-4-5 ラプラス方程式の境界値問題(II)
1-4-6 エネルギー不等式と解の一意性
1-4-7 エネルギー恒等式と解の一意性
1-4-8 熱伝導方程式に対する最大値原理
1-5 演習問題
2 フーリエ級数
2-1 直交系
2-1-1 直交系
2-1-2 正規直交系
2-1-3 シュミットの直交化法
2-2 フーリエ級数
2-2-1 フーリエ級数の計算例(I)
2-2-2 フーリエ級数の計算例(II)
2-2-3 任意区間におけるフーリエ級数
2-2-4 関数の対称性とフーリエ係数
2-2-5 フーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数
2-2-6 複素フーリエ級数
2-2-7 複素フーリエ級数の計算例
2-2-8 級数の和
2-2-9 フーリエ級数の第N部分和
2-3 フーリエ級数の微分積分
2-3-1 フーリエ級数の項別微分
2-3-2 熱伝導方程式の古典解
2-3-3 フーリエ級数の項別積分
2-4 演習問題
3 フーリエ変換
3-1 フーリエ変換と逆変換
3-1-1 フーリエ変換の計算例(I)
3-1-2 フーリエ変換の計算例(II)
3-1-3 フーリエ変換の計算例(III)
3-1-4 フーリエの積分公式
3-2 フーリエ変換の性質
3-2-1 フーリエ変換と変数変換
3-2-2 フーリエ変換の計算例(IV)
3-2-3 フーリエ変換の偏微分方程式への応用(I)
3-2-4 たたみこみとフーリエ変換
3-2-5 フーリエ変換の偏微分方程式への応用(II)
3-3 超関数とフーリエ変換
3-3-1 δ-関数の近似例
3-3-2 超関数の微分
3-3-3 ソホツキーの公式
3-3-4 ステップ関数のフーリエ変換
3-3-5 δ-関数のフーリエ変換
3-3-6 シュレディンガー方程式
3-3-7 超関数とのたたみこみ
3-3-8 積分方程式への応用
3-3-9 波動方程式の初期値問題
3-4 多変数への拡張
3-4-1 多変数のフーリエ変換の計算例(I)
3-4-2 多変数のフーリエ変換の計算例(II)
3-5 演習問題
4 ラプラス変換
4-1 ラプラス変換
4-1-1 ラプラス変換の計算例(I)
4-1-2 ラプラス変換の計算例(II)
4-2 ラプラス変換の性質
4-2-1 ラプラス変換の計算例(III)
4-2-2 ラプラス変換の計算例(IV)
4-3 ラプラス逆変換
4-3-1 ラプラス逆変換(I)
4-3-2 ラプラス逆変換(II)
4-3-3 常微分方程式への応用
4-3-4 微積分方程式，積分方程式への応用
4-3-5 連立微分方程式への応用
4-3-6 偏微分方程式への応用(I)
4-3-7 偏微分方程式への応用(II)
4-3-8 差分方程式への応用
4-4 演習問題
5 特殊関数
5-1 ガンマ関数・ベータ関数
5-1-1 ガンマ関数の値と性質
5-1-2 ベータ関数による定積分の計算(I)
5-1-3 ベータ関数による定積分の計算(II)
5-1-4 スターリングの公式の応用
5-2 ルジャンドル関数
5-2-1 ロドリグの公式
5-2-2 母関数展開
5-2-3 ルジャンドル多項式の零点
5-2-4 直交性
5-2-5 第2種ルジャンドル関数
5-3 ルジャンドル陪関数・球面調和関数
5-3-1 ルジャンドル陪関数
5-3-2 ラプラス方程式と球関数
5-4 直交多項式
5-4-1 エルミート多項式
5-4-2 ラゲール多項式
5-5 ベッセル関数
5-5-1 ベッセル関数の性質
5-5-2 ベッセルの積分表示
5-5-3 ベッセル関数の直交性
5-5-4 2次元熱伝導方程式への応用
5-5-5 熱伝導方程式の混合問題
5-6 演習問題
6 境界値問題とグリーン関数
6-1 主要解
6-1-1 主要解の構成
6-1-2 ラプラス作用素の主要解
6-1-3 熱伝導作用素の主要解
6-2 境界値問題とグリーン関数
6-2-1 グリーン関数の対称性
6-2-2 グリーン関数による解の表示
6-3 シュツルム・リウビルの境界値問題
6-3-1 シュツルム・リウビル問題(I)
6-3-2 シュツルム・リウビル問題の解
6-3-3 シュツルム・リウビル問題(II)
6-4 ポアソン(ラプラス)方程式のディリクレ問題
6-4-1 2次元ポアソン方程式の解
6-4-2 2次元ラプラス方程式の解
6-4-3 3次元ラプラス方程式のグリーン関数
6-5 演習問題
7 問題解答
1-1 序論
1-1-1 拡散方程式の導出
1-1-2 熱伝導現象のモデル化
1-1-3 波動方程式の導出
1-1-4 波動方程式の解
1-1-5 波動方程式・重ね合せの原理
1-2 1階偏微分方程式
1-2-1 完全解・一般解・特異解
1-2-2 1階偏微分方程式の解法(I)
1-2-3 1階偏微分方程式の解法(II)
1-2-4 1階偏微分方程式の解法(III)
1-3 2階偏微分方程式
1-3-1 定数係数2階線形偏微分方程式
1-3-2 2階線形偏微分方程式の標準形(I)
1-3-3 2階線形偏微分方程式の標準形(II)
1-3-4 2階線形偏微分方程式の標準形(III)
1-4 限定問題
1-4-1 波動方程式の初期値問題
1-4-2 波動方程式の混合問題
1-4-3 熱伝導方程式の混合問題
1-4-4 ラプラス方程式の境界値問題(I)
1-4-5 ラプラス方程式の境界値問題(II)
1-4-6 エネルギー不等式と解の一意性
1-4-7 エネルギー恒等式と解の一意性
1-4-8 熱伝導方程式に対する最大値原理
1-5 演習問題
2 フーリエ級数
2-1 直交系
2-1-1 直交系
2-1-2 正規直交系
2-1-3 シュミットの直交化法
2-2 フーリエ級数
2-2-1 フーリエ級数の計算例(I)
2-2-2 フーリエ級数の計算例(II)
2-2-3 任意区間におけるフーリエ級数
2-2-4 関数の対称性とフーリエ係数
2-2-5 フーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数
2-2-6 複素フーリエ級数
2-2-7 複素フーリエ級数の計算例
2-2-8 級数の和
2-2-9 フーリエ級数の第N部分和
2-3 フーリエ級数の微分積分
2-3-1 フーリエ級数の項別微分
2-3-2 熱伝導方程式の古典解
2-3-3 フーリエ級数の項別積分
2-4 演習問題
3 フーリエ変換
3-1 フーリエ変換と逆変換
3-1-1 フーリエ変換の計算例(I)
3-1-2 フーリエ変換の計算例(II)
3-1-3 フーリエ変換の計算例(III)
3-1-4 フーリエの積分公式
3-2 フーリエ変換の性質
3-2-1 フーリエ変換と変数変換
3-2-2 フーリエ変換の計算例(IV)
3-2-3 フーリエ変換の偏微分方程式への応用(I)
3-2-4 たたみこみとフーリエ変換
3-2-5 フーリエ変換の偏微分方程式への応用(II)
3-3 超関数とフーリエ変換
3-3-1 δ-関数の近似例
3-3-2 超関数の微分
3-3-3 ソホツキーの公式
3-3-4 ステップ関数のフーリエ変換
3-3-5 δ-関数のフーリエ変換
3-3-6 シュレディンガー方程式
3-3-7 超関数とのたたみこみ
3-3-8 積分方程式への応用
3-3-9 波動方程式の初期値問題
3-4 多変数への拡張
3-4-1 多変数のフーリエ変換の計算例(I)
3-4-2 多変数のフーリエ変換の計算例(II)
3-5 演習問題
4 ラプラス変換
4-1 ラプラス変換
4-1-1 ラプラス変換の計算例(I)
4-1-2 ラプラス変換の計算例(II)
4-2 ラプラス変換の性質
4-2-1 ラプラス変換の計算例(III)
4-2-2 ラプラス変換の計算例(IV)
4-3 ラプラス逆変換
4-3-1 ラプラス逆変換(I)
4-3-2 ラプラス逆変換(II)
4-3-3 常微分方程式への応用
4-3-4 微積分方程式，積分方程式への応用
4-3-5 連立微分方程式への応用
4-3-6 偏微分方程式への応用(I)
4-3-7 偏微分方程式への応用(II)
4-3-8 差分方程式への応用
4-4 演習問題
5 特殊関数
5-1 ガンマ関数・ベータ関数
5-1-1 ガンマ関数の値と性質
5-1-2 ベータ関数による定積分の計算(I)
5-1-3 ベータ関数による定積分の計算(II)
5-1-4 スターリングの公式の応用
5-2 ルジャンドル関数
5-2-1 ロドリグの公式
5-2-2 母関数展開
5-2-3 ルジャンドル多項式の零点
5-2-4 直交性
5-2-5 第2種ルジャンドル関数
5-3 ルジャンドル陪関数・球面調和関数
5-3-1 ルジャンドル陪関数
5-3-2 ラプラス方程式と球関数
5-4 直交多項式
5-4-1 エルミート多項式
5-4-2 ラゲール多項式
5-5 ベッセル関数
5-5-1 ベッセル関数の性質
5-5-2 ベッセルの積分表示
5-5-3 ベッセル関数の直交性
5-5-4 2次元熱伝導方程式への応用
5-5-5 熱伝導方程式の混合問題
5-6 演習問題
6 境界値問題とグリーン関数
6-1 主要解
6-1-1 主要解の構成
6-1-2 ラプラス作用素の主要解
6-1-3 熱伝導作用素の主要解
6-2 境界値問題とグリーン関数
6-2-1 グリーン関数の対称性
6-2-2 グリーン関数による解の表示
6-3 シュツルム・リウビルの境界値問題
6-3-1 シュツルム・リウビル問題(I)
6-3-2 シュツルム・リウビル問題の解
6-3-3 シュツルム・リウビル問題(II)
6-4 ポアソン(ラプラス)方程式のディリクレ問題
6-4-1 2次元ポアソン方程式の解
6-4-2 2次元ラプラス方程式の解
6-4-3 3次元ラプラス方程式のグリーン関数
6-5 演習問題
7 問題解答
